A. PENGERTIAN BILANGAN
Bilangan sendiri dapat diartikan sebagai sebuah ide yang memiliki sifat abstrak dan mampu memberi keterangan mengenai jumlah dari sebuah himpunan benda. Bilangan biasanya dinyatakan dalam bentuk angka. Di dalam pelajaran matematika, ada banyak sekali bentuk bilangan. Mari kita pelajari satu-persatu bilangan-bilangan tersebut.
Macam-macam Bilangan
1. Bilangan asli
Bilangan asli merupakan himpunan dari bilangan positif yang terdiri dari angka selain nol (0).
Contohnya: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,11,12,dst...}
2. Bilangan cacah
Bilangan cacah merupakan himpunan dari bilangan bulat yang bersifat positif (bukan negatif) dan dimulai dari nol.
Contohnya: {0.1.2.3.4.5.6.7.8.9,dst...}
3. Bilangan bulat
Bilangan bulat merupakan himpunan gabungan dari bilangan cacah {0,1,2,3,4,5,...} Dan juga bentuk negatif dari bilangan tersebut {-1,-2,-3,-4,-5,...} Karena -0 sama nilainya dengan 0 maka cukup menuliskan 0 saja di dalam himpunan bilangan bulat.
Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat, maka kalian harus mengetahui sifat-sifat penjumlahannya:
Sifat-sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
a. Tertutup : a + b adalah bilangan bulat
b. Komutatif : a + b = b + a
c. Asosiatif : (a + b) = a + (b + c)
d. “0” adalah unsur identitas penjumlahan yang memenuhi à a + 0 = 0 + a = a
e. –a adalah unsur invers (lawannya) penjumlahan yang memnuhi à a + (-a) = (-a) + a
Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat, maka sifat perkaliannya adalah:
a. Tertutup : a x b adalah bilangan bulat
b. Komutatif : a x b = b x a
c. Asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)
d. 1 adalah unsur identitas perkalian yang memenuhi à a x 0 = 0 x a = 0
e. jika a ≠ 0, maka a-1 = 1/a adalah unsur invers perkalian yang memenuhi a x a-1 = a-1 x a = 1
Operasi penjumlahan dan perkalian dalam himpunan bilangan bulat menmiliki sifat distributif yaitu:
Ax(b+c) = axb + axc
Bilangan prima
Bilangan prima merupakan himpunan bilangan asli yang hanya memiliki 2 buah faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Kebalikan dari bilangan prima adalah bilangan komposit.
Contohnya, 3 termasuk ke dalam bilangan prima karena 3 hanya hanya memiliki 2 buah faktor (1 dan 3) artinya 3 hanya bisa dibagi dengan 1 dan 3 dan tidak menghasilkan pecahan. Berbeda dengan angka 8, angka 8 tidak termasuk ke dalam bilangan prima karena ia memiliki lebih dari 2 faktor yaitu 1, 2, 4, dan 8. 1 juga tidak termasuk ke dalam bilangan prima karena ia hanya memiliki satu buah faktor yaitu angka 1 itu sendiri.
20 bilangan prima pertama adalah:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, ...
Perlu kalian ketahui juga bahwa angka 2 adalah satu-satunya bilangan prima yang bersifat genap.
Bilangan riil
Bilangan riil merupakan kelomok bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 1,3425 atau 8,8452637. Bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan irasional.
Bilangan rasional adalah bilangan riil yang bisa kita tuliskan dalam bentuk a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat dimana b≠0. Contohnya adalah 42 dan 123/129.
Bilangan irasional adalah bilangan riil selain bilangan rasional, misalnya: π (2,34...) dan √2
Bilangan imajiner
Bilangan imajiner menyatakan bilangan selain bilangan riil, seperti √-1. √-1 biasanya disimbolkan dengan huruf "i" jadi √-3 = 3i
B. MEMBANDINGKAN BILANGAN BULAT
Bilangan bulat terdiri atas :
1. Bilangan bulat positif ( 1,2,3,4,5,…)
2. Bilangan bulat negative yang merupakan lawan ( invers ) dari bilangan positif ( -1,-2,-3,,-4,-5,…)
3. Bilangan nol 0
Bilangan bulat dapat ditulis dalama bentuk garis bilangan
Jika ditulis secara lengkap, maka bilangan bulat dapat ditulis …-5,-4,-3,-2,
-1,0,1,2,3,4,5,…
Contoh :
A. Diketahui bilangan-bilangan bulat 8, -3,-31, dan 20
1. Tentukan lawan ( invers ) dari bilangan-bilangan tersebut
2. Bandingkan nilai pasanagn bilangan 8 dan -3, -3 dan -31, serta 8 dan 20
3. Tentukan urutan bilangan-bilangan tersebut dari yang nilainya terkecil
Penyelesaian :
1. Lawan dari bilangan ositif adalah bilangan negative. Sebaliknya lawan dari bilangan negative adalaha bilangan positif.
8 inversnya adalah -8
-3 inversnya adalah 3
-31 inversnya adalah 31
20 inversnya adalah -20
2. Pada garis bilanagn bulat, bilangan yang terletak disebelah kanan berarti nilainya lebih besar dan bilangan yang terletak disebelah kiri berarti lebih kecil.
8 terletak disebelah kanan -3 berarti 8 lebih besar dari -3 dan ditulis 8 > -3
-3 terletak disebelah kanan -31 berarti -3 lebih besar dari -31 dan ditulis -3 > -31
8 terletak disebelah kiri 20 berarti 8 lebih kecil dari 20 dan ditulis 8<20
3. Mengurutkan dari yang nilainya terkecil berarti mengurutkan dari kiri letak bilangan- bilangan bulat pada garis bilangan. Urutan dari yang terkecil -31,-3,8,20
B. Suhu udara di dalam ruang pendingin enam derajat Celsius dibawah nol, sedangkan suhu udara di luar ruangan pendingin dua pilih delapan derajat Celsius.
1. Tuliskan lambing bilangan yang menyatakan suhu udara tersebut!
2. Diantara kedua tempat tersebut, tentukan tempat yang suhunya lebih rendah!
Penyelesaian :
1. Enam derajat Celsius di bawah nol yaitu negative enam, ditulis -60 C. Dua puluh delapan derajat Celsius ditulis 280 C.
2. -6 < 28 maka suhu di dalam ruang pendingin lebih rendah dari suhu diluar ruangan
C. OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT
a. Penjumlahan
Menjumlahkan bilangan bulat dapat dilakukan menggunakan garis bilangan.
Misalkan kita ingin menghitung -4+5
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuan kekiri sampai angka -4.
2. Gambarlah anak panah dari angka -4 sejauh 5 satuan kekanan.
3. Anak panah menunjukan angka 1. Jadi, -4+5=1
Pada bilangan bulat dikenal istilah invers suatu bilangan. Hasil penjumlahan suatu bilangan bulat dengan invers atau lawannya sama dengan nol.
a + (-a) = 0
-a + a = 0
b. Pengurangan
Mengurangi a dengan b sama artinya dengan menambah a dengan lawan dari b.
a – b = a + (-b)
c. Perkalian dan pembagian
Hal yang perlu diperhatikan dalam perkalian dan pembagian bilangan bulat adalah tanda hasil operasinya.
Misalkan a dan b adalah bilangan bulat positif maka akan berlaku sebagai berikut:
a x b = a x b
(-a) x b = -(a x b)
a x (-b) = -(a x b)
(-a) x (-b) = a x b
a : b = a : b
(-a) : b = -(a : b)
a : (-b) = -(a : b)
(-a) : -b = a : b
d. Operasi hitung campuran
Jika terdapat operasi hitung yang melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian, gunakan aturan dan langkah-langkah berikut ini:
1. Kerjakan terlebih dahulu operasi bilangan yang terdapat dalam tanda kurung
2. Operasi perkalian dan pembagian dikerjakan terlebih dahulu, lalu kerjakan operasi penjumlahan dan pengurangan
3. Operasi perkalian setara dengan operasi pembagian. Pengerjaannya dilakukan dari kiri. Operasi penjumlahan setara dengan operasi pengurangan. Pengerjaannya dilakukan dari kiri.
2. Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat
Beberapa sifat operasi hitung bilangan bulat yaitu:
a. Komutatif, a+b=b+a
b. Asosiatif, (a+b)+c=a+(b+c)
c. Memiliki unsur identitas penjumlahan yaitu 0
d. Memiliki unsur identitas perkalian yaitu 1
e. Bersifat tertutup
CONTOH SOAL
Hasil dari 24 – 30 : (-3) + 8 adalah….
PENYELESAIAN
24 – 30 : (-3) + 8
= 24 + 10 + 8
= 34 + 8
= 42
Siska mengikuti kompetesi matematika. Dalam kompetisi tersebut disediakan 100 soal. Jika jawaban benar, skor jawaban 4. Jika jawaban salah, skor jawaban -1. Jika tidak dijawab, skor jawaban 0. Jika Siska menjawab 80 soal dengan benar dan 3 soal terjawab salah, maka skor Siska adalah….
a. 323
b. 320
c. 317
d. 303
PENYELESAIAN
Dari 100 soal diperoleh 80 soal dijawab dengan benar, 3 soal dijawab salah sehingga soal yang tidak dijawab sebanyak 17 soal.
Skor Siska = (80 x 4) + (17 x 0) + (3 x (-1))
= 320 + 0 - 3
= 317
Hasil dari 12 x(15 + (-10)) : (-6 -14) adalah….
a. -15
b. -3
c. 3
d. 15
PENYELESAIAN
12 x (15 + (-10)) : (-6 - 14)
= 12 x 5 : (-20)
= 60 : (-20)
= -3
Suhu dalam freezer kulkas adalah -10C. Ketika terjadi pemadaman listrik, suhu udara dalam freezer mulai naik 3C setiap dua jam. Jika terjadi pemadaman listrik selama 6 jam, suhu udara di dalam freezer menjadi….
a. -2
b. -1
c. 1
d. 2
PENYELESAIAN
Suhu udara dalam freezer naik 3C setiap 2 jam. Oleh karena pemadaman listrik selama 6 jam maka suhu udara dalam freezer dihitung sebagai berikut.
Suhu = -10 + (6 : 2) x 3
= -10 + 3 x 3
= -10 + 9
= -1
Suhu sebongkah es batu adalah -6C. setelah 30 menit, suhu es batu tersebut naik menjadi 24C. Jika kenaikan suhu terjadi setiap 5 menit, maka kenaikan suhu per lima menit adalah….
a. -6C
B. -5C
C. 5C
D. 6C
PENYELESAIAN
Misalkan suhu per 5 menit = a
24 = -6 + (30 : 5 ) x a
24 = -6 + 6 x a
24 = -6 + 6a
6a = 30
a = 5C
Hasil dari -10 -48 : (-8) x 3 + 14 adalah….
a. -14
b. 2
c. 6
d. 22
PENYELESAIAN
-10 -48 : (-8) x 3 + 14
= -10 – 6 x 3 + 14
= 10 – 18 + 14
= -8 + 14
= 6
Nisa mengikuti kompetisi matematika. Dalam kompetisi itu disediakan 100 soal. Jika jawaban benar, skor jawaban 4. Jika jawaban salah, skor jawaban -1. Jika tidak dijawab, skor jawaban 0. Jika Nisa menjawab 60 soal dengan benar dan 3 soal terjawab salah, maka skor Nisa adalah….
a. 223
b. 220
c. 237
d. 203
PENYELESAIAN
Dari 100 soal diperoleh:
60 soal dijawab dengan benar
3 soal dijawab salah
Sehingga, soal yang tidak dijawab yaitu sebanyak 37 soal
Skor = (60 x 4) + (37 x 0) + (3 x (-1))
=240 + 0 -3
= 237
Hasil dari 21 x (-5 + 11) : (-9 -5) adalah….
a. 9
b. 6
c. -6
d. -9
PENYELESAIAN
21 x (-5 + 11) : (-9 -5)
= 21 x 6 : (-14)
= 126 : (-14)
= -9
Dalam kompetisi matematika, setiap jawaban benar diberi skor 4, salah diberiskor -2 dan tidak menjawab diberi skor -1. Dari 60 soal, Deni menjawab 40 soal benar dan 12 salah. Nilai skor yang diperoleh Deni adalah….
a. 116
b. 126
c. 128
c. 136
PENYELESAIAN
Dari pertanyaan diperoleh:
Dark 60 soak 40 soal dijawab benar, 12 soal dijawab salah sehingga 8 soal tidak dijawab.
Skori Deni = (benar x 4) + ( salah x (-2) + (tidakdijawab x (-1))
= (40 x 4) + (12 x (-2)) + (8 x (-1))
= 160 + (-24) + (-8)
= 136 – 8
= 128
Jika n = (-16 + 232) : 18 x 2, nilai n adalah….
a. 6
b. 12
c. 18
d. 24
PENYELESAIAN
n = (-16 + 232) : 18 x 2
= 216 : 18 x 2
= 12 x 2
= 24
Bu Tuti mengeluarkan daging beku dari dalam kulkas. Suhu daging itu -3 C. Daging itu direndam dalam air hangat sehingga setiap 5 menit suhu daging naik 4 C. Suhu daging setelah 20 menit adalah….
a. 9C
B. 12C
C. 13C
D. 17C
PENYELESAIAN
Suhu = -3 + (20 : 5) x 4
= -3 + 4 x 4
= -3 + 16
= 13
Hasil dari 36 – (-20) x 5 + (-15) adalah….
a. -79
b. 79
c. 121
d. 265
PENYELESAIAN
36 – (-20) x 5 + (-15) = 36 – (-100) + (-15)
= 36 + 100 – 15
= 136 – 15
= 121
Hasil dari 24 – 6 x 2 + (45 : (-9)) adalah….
a. 31
b. 17
c. 7
d. 4
PENYELESAIAN
24 – 6 x 2 + (45 : (-9)) = 24 – 6 x 2 + ( -5)
= 24 – 12 – 5
= 12 – 5
= 7
TUGAS BILANGAN 1
1. Tentukan lawan ( invers ) dari bilangan-bilangan bulat berikut
a. 22
b. -74
c. -35
d. 89
e. -12
2. Bandingkan nilai setiap pasangan bilanga berikut dengan tanda < atau >
a. 9 … 13
b. -21 … 18
c. -32 … -51
d. -28 … 0
e. 10 …. 8
3. Urutkan bilangan-bilangan berikut dari yang nilainya terkecil
a. 2, -5, 9, 0
b. 16, -8, 2, -12
c. -4, 3, -34, -3, 34
d. 10, -20, 30, -40, -50, 60
4. Diketahui bilangan-bilangan bulat -6, -11, 8, 38, -24, -13, -12, 12
a. Kurang dari -8
b. Lebih dari -2
c. Diantara -15 dan 15
5. Suhu udara di Kota Jakarta dua puluh delapan derajat Celsius.
Suhu udara di Kota Seoul empat derajat Celsius di bawah nol
Suhu udara di Kota Bagdad tiga puluh lima derajat Celsius
Suhu udara di Kota Amsterdam delapan derajat Celsius di bawah nol
a. Tuliskan lambing bilangan yang menyatakan suhu udara di kota –kota tersebut
b. Kota manakah yang suhu udaranya terendah?
c. Kota manakah yang terpanas?
6. Hitunglah hasil penjumlahan berikut !
a. 56 + ( -83 )
b. -35 + ( -19 )
c. 26 + ( - 38 ) + ( - 55 )
d. -28 + 42 + ( -31 )
7. Hitunglah hasil pengurangan berikut !
a. 57 – 72
b. -43 – ( - 32 )
c. 44 – 29 – 45
d. -36 – 27 – ( - 63 )
8. Hitunglah hasil perkalian dan pembagian berikut !
a. – 14 x 25
b. ( - 15 ) x ( - 8 )
c. 75 : ( -5 )
d. ( - 105 ) : (-15)
9. Hitunglah hasil operasi campuran berikut !
a. 128 : ( -8 ) – 12 x ( -5 )
b. 125 – 54 : ( -9 ) + 14 x ( -8 )
c. 12 x ( -7 ) + ( -16 ) : ( -2 )
d. -32 + ( -21 + 9 ) x 21 : 6 – 15 x ( -7 )
10. Wati dab Rini mengerjakan tes yang terdiri atas 100 soal. Aturan penilaiannya adalah jawaban benar mendapat nilai 5, salah -3 dan tidak dijawab 0. Wati menjawab 85 soal dengan 22 diantaranya jawaban salah, sedangkan Rini menjawab 68 soal dengan 59 jawaban benar. Nilai siapakah yang lebih besar? Berapa selisihnya?
Daril al fahri
BalasHapus