Bilangan 2 ( Matematika kelas 7)

PENGERTIAN PECAHAN

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a,b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan a disebut pembilang dan bilangan b disebut penyebut.

Contoh :

9/2 ————> Pecahan

4/2 ————> Pecahan, nilai nya 2

5 % ————> Pecahan, karena dapat dibentuk 5/100

9/0 ————> Bukan Pecahan, karena penyebutnya 0.

Jadi sudah tau mana yang dinamakan pecahan?

Kita lanjut ke pembahasan berikutnya,

1. Pecahan Senilai.

Untuk memperoleh pecahan-pecahan yang senilai dapat dilakukan dengan mengalikan atau membagi penyebut dan pembilang dengan bilangan yang sama.

Secara umum dapat dituliskan;

Bila diketahui, pecahan  a/b  dengan b ≠ 0 maka berlaku  a/b = a x n/ bx n  atau a/b = am/bm  , dimana n dan m konstanta positif bukan nol.

2. Menyederhanakan Pecahan.

Sebelumnya kalian sudah mengetahui cara menentukan pecahan senilai, yaitu dengan mengalikan atau membagi pecahan tersebut dengan konstanta positif bukan nol.

Sekarang perhatikan cara menentukan pecahan-pecahan senilai berikut;

 

  Pecahan   pada pengerjaan tersebut tidak bisa dibagi lagi dengan bilangan lain selain nol. Dalam hal ini,   adalah pecahan paling sederhana dari  .

Untuk memperoleh pecahan  , pecahan   harus dibagi dengan 12, dimana 12 merupakan FPB dari 24 dan 36.

Sehingga bisa dituliskan:

Dalam menyederhanakan pecahan sebarang   , b ≠ 0. Berlaku  , dimana n adalah FPB dari a dan b.

Contoh Soal :

Tentukan pecahan paling sederhana dari  .

Pembahasan :

Untuk mencari pecahan paling sederhana, pertama, cari dulu FPB dari 18 dan 45.

Setelah dicari, ternyata FPB dari 18 dan 45 adalah 9.

Sehingga;

 

Jadi pecahan paling sederhana dari   adalah  .

Membandingkan Pecahan

Hubungna antar dua pecahan dapat ditentukan dengan menyamakan penyebut dari kedua pecahan tersebut, kemudian dibandingkan nilai pembilangnya.

Contoh

Menentukan pecahan yang senilai dengan 1/3 dan pecahan yang senilai dengan 2/7 dengan menggunakan KPK 

1 × 7 = 7 sehingga 1 = 7

3 × 7 21 3 21

2 × 3 = 6 sehingga 2 = 6

7 × 3 21 7 21

 

Sehingga Karena bilangan 7 > 6 maka:

7/21 > 6/21

Sehingga:

1/3 > 2/7

Jenis-jenis pecahan

Pecahan Biasa

Pecahan biasa terdiri dari pembilang dan penyebut

Contoh : ½ , ¾

Pecahan Campuran

Pecahan campuran terdiri atas bilangan bulat diikuti pecahan

Contoh : 10½,  15½

Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa

2/5 = 22/5 caranya 4 x 5 ditambahkan 2 hasilnya 22 sebagai pembilang 

Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran 

 5/3 = 1 2/3 = 5 dibagi 3 didapat 1 dengan sisa 2/3

Desimal

Cara Mengubah Bentuk Desimal ke Bentuk Pecahan

 Mengubah pecahan bentuk desimal ke bentuk pecahan biasa atau pecahan campuran merupakan kebalikan dari mengubah pecahan biasa menjadi bentuk desimal. Untuk mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa atau pecahan campuran dapat dilakukan dengan menguraikan bentuk panjangnya terlebih dahulu. Agar Anda lebih paham silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Nyatakan pecahan-pecahan desimal berikut ke bentuk pecahan biasa.

a. 0,35

b. 4,2

Penyelesaian:

a. Untuk mengerjakan soal seperti ini seperti cara menentukan nilai tempat pada bilangan desimal, maka:

=> 0,35 = 0 + 3/10 + 5/100

=> 0,35 = 0 + 30/100 + 5/100

=> 0,35 = 35/100

=> 0,35 = 7/20

b. Dengan cara yang sama seperti contoh soal 2b maka:

=> 4,5 = 4 + 5/10

=> 4,5 = 4 + ½

=> 4,5 = 4½

Cara Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Desimal

Sebelum mengubah bilangan pecahan ke bentuk bilangan desimal anda harus paham mengenai mengenai nilai tempat pada bilangan pecahan desimal. Pecahan desimal adalah pecahan yang mempunyai penyebut khusus yaitu sepuluh, seratus, seribu dan seterusnya. 

Apabila suatu pecahan biasa atau campuran akan diubah atau dinyatakan ke dalam bentuk pecahan desimal, maka dapat dilakukan dengan cara mengubah penyebutnya menjadi 10, 100, 1.000, 10.000, dan seterusnya. Dapat pula dengan cara membagi pembilang dengan penyebutnya. Silahkan simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 2

Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pecahan desimal dengan pendekatan sampai satu tempat desimal.

a. 4/5

b. 9/20

c. 3¼

Penyelesaian:

a. Untuk menyelesiakan soal seperti ini ubahlah bilangan pecahan biasa tersebut menjadi bilangan pecahan desimal, dengan mengubah penyebutnya menjadi 10. Maka:

=> 4/5 = (4 × 2)/(5 × 2)

=> 4/5 = 8/10

=> 4/5 = 0,8

b. Ubahlah bilangan pecahan biasa tersebut menjadi bilangan pecahan desimal, dengan mengubah penyebutnya menjadi 100. Maka:

=> 9/20 = (9 × 5)/(20 × 5)

=> 9/20 = 45/100

=> 9/20 = 0,45

Karena yang diminta hanya sampai satu tempat desimal maka:

=> 9/20 = 0,45 ≈ 0,5

Persen dan Permil

Kita ketahui bahwa pecahan merupakan bilangan yang dinyatakan dengan a/b, di mana a merupakan pembilang dan b merupakan penyebut, sedangkan persen dapat diartikan sebagai perseratus yang ditulis dengan notasi %.

Cara Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Persen

Untuk mengubah dari bentuk pecahan ke bentuk persen terlebih dahulu harus mengubah pecahan tersebut menjadi pecahan senilai dengan penyebut 100. Untuk menatapkan pemahaman Anda tentang cara mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Nyatakan bilangan-bilangan pecahan berikut dalam bentuk persen.

a. 8/25

b. 1¼

c. 48/25

d. 0,36

Penyelesaian:

a. ubah terlebih dahulu pecahan 8/25 menjadi pecahan senilai dengan penyebut 100, maka:

=> 8/25 = (8 × 4)/(25 × 4)

=> 8/25 = 32/100

=> 8/25 = 32%

b. Ubah terlebih dahulu pecahan campuran menjadi pecahan maka:

=> 1¼ = (4 × 1 + 1)/4

=> 1¼ = 5/4

Sekarang ubah pecahan biasa tersebut menjadi pecahan senilai dengan penyebut 100, maka:

=> 5/4 = (5 × 25)/(4 × 25)

=> 5/4 = 125/100

=> 5/4 = 125%

c. Ubah terlebih dahulu pecahan 48/125 menjadi pecahan senilai dengan penyebut 100, maka:

=> 48/125 = (48 × 8)/(125 × 8)

=> 48/125 = 384/1000

=> 48/125 = (384 : 10)/(1000 : 10)

=> 48/125 = 38,4/100

=> 48/125 = 38,4%

d. Ubah terlebih dahulu bilangan desimal ke bentuk pecahan kemudian jadikan pecahan dengan penyebut 100 dan terakhir jadikan bentuk %, maka:

=> 0,36 = 0 + 3/10 + 6/100

=> 0,36 = 0 + 30/100 + 6/100

=> 0,36 = 36/100

=> 0,36 = 36%

Cara Mengubah Bentuk Persen ke Bentuk Pecahan

Untuk mengubah bentuk persen ke bentuk pecahan dapat dilakukan dengan cara mengubah persen (%) tersebut menjadi bentuk pecahan dengan penyebut 100 kemudian disederhanakan dengan konsep pecahan senilai sehingga menjadi bentuk paling sederhana baik itu menjadi pecahan biasa maupun pecahan campuran. Untuk lebih memahami konsep tersebut silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 2

Nyatakan bilangan-bilangan persen berikut dalam bentuk pecahan biasa atau campuran.

a. 25%

b. 35%

c. 22½%

d. 150%

Penyelesaian:

a. Ubah terlebih dahulu bentuk menjadi pecahan dengan penyebut 100 kemudian sederhanakan, maka:

=> 25% = 25/100

=> 25% = (25 : 25)/(100 : 25)

=> 25% = 1/4

b. Ubah terlebih dahulu bentuk menjadi pecahan dengan penyebut 100 kemudian sederhanakan, maka:

=> 35% = 35/100

=> 35% = (35 : 5)/(100 : 5)

=> 35% = 7/20

c. Soal ini merupakan kombinasi antara persen dengan pecahan maksudnya soalnya mengandung pecahan campuran di dalam persen. Oleh karena itu ubah pecahan campuran persen tersebut menjadi pecahan biasa, maka:

=> 22½% = ((22 × 2 + 1)/2)%

=> 22½% = (45/2)%

Sekarang ubah bentuk persen tersebut menjadi pecahan kemudian sederhanakan, maka:

=> (45/2)% = (45/2)/100

=> (45/2)% = 45/200

=> (45/2)% = (45 : 5)/(200 : 5)

=> (45/2)% = 9/40

Jadi 22½% sama dengan 9/40.

d. Ubah terlebih dahulu bilangan persen ke bentuk pecahan, maka:

=> 150% = 150/100

=> 150% = (150 : 50)/(100 : 50)

=> 150% = 3/2

=> 150% = 1½

Cara Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Permil

Pecahan dalam bentuk perseribu disebut permil atau ditulis “‰”. Bentuk pecahan 123/1.000 dikatakan 123 permil dan ditulis 123‰. Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk permil dapat dilakukan dengan mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai dengan penyebut 1.000. Jika hal ini sulit dikerjakan maka dapat dilakukan dengan mengalikan pecahan semula dengan 1.000‰. Untuk menatapkan pemahaman Anda tentang cara mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Nyatakan bilangan-bilangan pecahan berikut dalam bentuk permil.

a. 8/25

b. 1¼

c. 48/25

d. 0,36

Penyelesaian:

a. ubah terlebih dahulu pecahan 8/25 menjadi pecahan senilai dengan penyebut 1000, maka:

=> 8/25 = (8 × 40)/(25 × 40)

=> 8/25 = 320/1000

=> 8/25 = 320‰

b. Ubah terlebih dahulu pecahan campuran menjadi pecahan maka:

=> 1¼ = (4 × 1 + 1)/4

=> 1¼ = 5/4

Sekarang ubah pecahan biasa tersebut menjadi pecahan senilai dengan penyebut 100, maka:

=> 5/4 = (5 × 250)/(4 × 250)

=> 5/4 = 1250/1000

=> 5/4 = 1250‰

c. Ubah terlebih dahulu pecahan 48/125 menjadi pecahan dengan penyebut 1000, maka:

=> 48/125 = (48 × 8)/(125 × 8)

=> 48/125 = 384/1000

=> 48/125 = 384‰

Iklan

 

d. Ubah terlebih dahulu bilangan desimal ke bentuk pecahan kemudian jadikan pecahan dengan penyebut 1000 dan terakhir jadikan bentuk ‰, maka:

=> 0,36 = 0 + 3/10 + 6/100

=> 0,36 = 0 + 30/100 + 6/100

=> 0,36 = 36/100

=> 0,36 = 360/1000

=> 0,36 = 360‰

Cara Mengubah Bentuk Permil ke Bentuk Pecahan

Untuk mengubah bentuk persen ke bentuk pecahan dapat dilakukan dengan cara mengubah permil (‰) tersebut menjadi bentuk pecahan dengan penyebut 1000 kemudian disederhanakan dengan konsep pecahan senilai sehingga menjadi bentuk paling sederhana 

baik itu menjadi pecahan biasa maupun pecahan campuran. Untuk lebih memahami konsep tersebut silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 2

Nyatakan bilangan-bilangan persen berikut dalam bentuk pecahan biasa atau campuran.

a. 250‰

b. 350‰

c. 220½‰

d. 1500‰

Penyelesaian:

a. Ubah terlebih dahulu bentuk menjadi pecahan dengan penyebut 1000 kemudian sederhanakan, maka:

=> 250‰ = 250/1000

=> 25‰ = (250 : 250)/(1000 : 250)

=> 25‰ = 1/4

b. Ubah terlebih dahulu bentuk menjadi pecahan dengan penyebut 100 kemudian sederhanakan, maka:

=> 350‰ = 350/1000

=> 350‰ = (350 : 50)/(1000 : 50)

=> 350‰ = 7/20

c. Soal ini merupakan kombinasi antara permil dengan pecahan maksudnya soalnya mengandung pecahan campuran di dalam permil. Oleh karena itu ubah pecahan campuran persen tersebut menjadi pecahan biasa, maka:

=> 222½‰ = ((220 × 2 + 1)/2) ‰

=> 222½‰ = (441/2) ‰

Sekarang ubah bentuk permil tersebut menjadi pecahan kemudian sederhanakan, maka:

=> (445/2) ‰ = (445/2)/1000

=> (445/2) ‰ = 445/2000

=> (445/2) ‰ = (445 : 5)/(2000 : 5)

=> (445/2) ‰ = 89/400

Jadi 222½‰ sama dengan 89/400.

d. Ubah bilangan permil ke bentuk pecahan dengan penyebut 1000, maka:

=> 1500‰ = 1500/1000

=> 1500‰ = (1500 : 500)/(1000 : 500)

=> 1500‰ = 3/2

=> 1500‰ = 1½

Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Murni dan Campuran

Untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan terlebih dahulu menyamakan penyebutnya. Penyebut yang sama sebaiknya merupakan KPK dari penyebut – penyebut pecahan yang akan dijumlahkan atau dikurangkan.

Contoh soal :

Hitunglah!

1/2 +2/3            2.  7/8  –   5/6                      3.    7/9+5/6  -2/3

Jawab

1/2 +2/3   = …, KPK dari 2 dan 3 adalah 6, maka :

1/2 +2/3   =3/6  +4/6  = 7/6 =1 1/6

7/8 – 5/6  = …, KPK dari 8 dan 6 adalah 24, maka :

7/8 -5/6   =21/24  -20/24  =1/24

7/9+5/6  -2/3 = …, KPK dari 9, 6 dan 3adalah 18, maka :

7/9 +5/6  -2/3  =14/18  +15/18  -12/18 =  17/18

B.   Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Desimal

pecahan desimal dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara menyusun ke bawah. Perhatikan bahwa koma desimal harus terletak pada satu garis vertikal.

Contoh soal :

Hitunglah!

47,157 + 57,25 + 35,383               2.   375,042 – 99,19

Jawab

139,79

275,852

C.   Perkalian Pecahan Murni dan Campuran

Hasil kali pecahan dapat diperoleh dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

jika dalam perkalian pecahan terdapat pecahan campuran, maka pecahan campuran terlebih dahulu dinyatakan dalam bentuk  pecahan biasa.

Contoh soal :

Hitunglah!

2/3 x  4/7

2 3/4 x 3  1/2

 4a/7b x 5 b/2a

Jawab

2/3 x 4/7 = 8/21

 2 3/4 x 3 1/2  =11/4  x 7/2 =77/8  = 9 5/8

 4a/7b x 5 b/2a =4a/7b  x 11b/2a = 44ab/14ab =44ab : ab/14ab : ab  = 44/14 = 22/7 = 3 1/7

D.   Pembagian Pecahan Murni dan Campuran

Hasil bagi pecahan dapat diperoleh dengan cara mengalikan dengan kebalikan dari pecahan itu.

Contoh soal :

Hitunglah!

1/2 : 2/3

1 2/3 : 2 5/9

Jawab

1/2 : 2/3 = 1/2 x 3/2  = 3/4

 1 2/3: 2 5/9  =5/3  :  23/9= 5/3 x 9/23  =45/69  = 15/23

E.   Perkalian Pecahan Desimal

Contoh soal :

Hitunglah!

6,758 x 10

6,758 x 100

Jawab

6,758 x 10 = 67,58

Perhatikan bahwa perkalian dengan 10 dapat dilakukan dengan menggeser koma desimal satu tempat ke sebelah kanan dari letak semula.

 6,758 x 100 = 675,8

Perkalian dengan 100 dapat dilakukan dengan menggeser koma desimal dua tempat ke sebelah kanan dari letak semula.

F.    Pembagian Pecahan Desimal

Contoh soal :

Hitunglah!

268,7 : 10

268,7 : 100

Jawab

268,7 : 10 = 26,87

Membagi dengan 10 dapat dilakukan dengan menggeser koma desimal satu tempat ke sebelah kiri dari tempat semula.

268,7 : 100 = 2,687

Membagi dengan 100 dapat dilakukan denga menggeser koma desimal dua tempat ke sebelah kiri dari tempat semula.

                                                        TUGAS BILANGAN 2

 1. Tentukan bentuk pecahan paling sederhana dari pecahan berikut :

      a. 15/35

      b. 80/120

2. Ubahlah bentuk % berikut ke dalam bentuk pecahan biasa :

    a. 32 %

    b. 60 %

3. Nyatkan pecahan-pecahan desimal berikut ke dalam pecahan biasa :

    a.  0,06

    b. 12,46

4. Tentukan hasil dari pecahan berikut ini :

    a. 7/12 x 3/5 x 7/20

    b. 1/7 + 3/21 - 2/7

5. Tentukan hasil dari :

     a. 8,665 + 2,001

     b. 2,345 - 2,112

     c. 6,25 x 0,56

     d. 29,011 : 2,5